費馬小定理：
如果p是一個素數(shù)，而a是任何不能被p整除的整數(shù)，那么p能除a?? – 1。
這個由皮埃爾德費馬在1640年發(fā)現(xiàn)的數(shù)字性質(zhì)，本質(zhì)上是說，取任意素數(shù)p和任意不能被該素數(shù)整除的數(shù)a，假設(shè)p = 7, a = 20。通過費馬小定理，我們發(fā)現(xiàn)：
我們不太關(guān)心這個計算結(jié)果的實際數(shù)字。這個定理告訴我們，我們不需要做任何計算就能知道一個整數(shù)必須由它得出。
介紹
在17世紀皮埃爾德費馬與世界各地數(shù)學(xué)家的許多通信中，與法國鑄幣局官員伯納德弗雷尼卡德貝西-1605-1675的通信對數(shù)論影響最大。據(jù)說，德貝西在法國以計算大數(shù)的天賦而聞名。
當他聽說費馬提出了一個尋找立方數(shù)的問題，這個立方數(shù)的因數(shù)加起來就是平方數(shù)，就像7+-1 + 7 + 7= 20一樣，貝西立即給出了四個不同的解，第二天又給出了六個。——節(jié)選，《初等數(shù)論》
德?貝西本人后來最為人所知的是他的著作《尋找等效于魔法格的正方形》-Finding the square equivalent of magic tables，這是他死后于1693年出版的一篇關(guān)于魔方格的專著，他在書中提供了880個4階的魔方格。魔方格是一個n n的格子，格子里填滿了不同的正整數(shù)，每個格子里包含一個不同的整數(shù)，并且每一行、每一列和每對角線上的整數(shù)的和都是相同的。
作為數(shù)學(xué)家，費馬在很多方面都無法與貝西相提并論，但談到數(shù)論家，沒有一個同時代的人能挑戰(zhàn)費馬。費馬和貝西在17世紀中期的合作導(dǎo)致了數(shù)論中一些最驚人的發(fā)現(xiàn)，包括數(shù)字1729的立方屬性。
然而，兩人最引人注目的通信是費馬在1640年10月18日的一封信中提出了后來被稱為費馬小定理的定理。
證明
將近一百年后的1736年，歐拉在圣彼得堡學(xué)院學(xué)報上發(fā)表了一篇題為《關(guān)于素數(shù)的某些定理的證明》的論文，成為第一個證明費馬小定理的人。然而，后來人們發(fā)現(xiàn)，萊布尼茨在1683年之前的某個時候，在一份未發(fā)表的手稿中給出了幾乎相同的證明，但歐拉不可能知道。
今天，這個定理的許多證明已經(jīng)為人所知。證明一般依賴于兩種簡化，首先，假設(shè)a在0≤a≤p?1范圍內(nèi)。第二，證明費馬小定理在1≤a≤p?1范圍內(nèi)成立是充分的。
用二項式定理證明
歐拉的第一個證明是多項式定理的一個非常簡單的應(yīng)用：
多項式定理
這個求和是通過k?得到的所有非負整數(shù)索引k?的序列，這樣所有k?的和就是n，如果我們把a表示為1的p次方的和-1 + 1+ 1+…1??，我們得到：
如果p是質(zhì)數(shù)，對于任意j，k?不等于p，我們有：
如果p是質(zhì)數(shù)，對于某個j，k?=p，我們有：
因為正好有一個元素使k?= p，所以定理成立。
作為歐拉定理的一個推論的證明
這個定理的另一個證明是，歐拉定理是費馬小定理的推廣。歐拉定理指出，若n，a為正整數(shù)，且n和a互質(zhì)，則：
其中-n是歐拉函數(shù)，它計算從1到n之間的素數(shù)。如果n是素數(shù)，則得出費馬小定理，即-n = n?1。費馬小定理的證明可以從歐拉定理的證明中得到，歐拉定理的證明通常是用群論來完成的。
模算法證明
下面的證明，使用模運算，最初是由James Ivory在1806年發(fā)現(xiàn)的，后來被Dirichlet在1828年重新發(fā)現(xiàn)。
費馬小定理的證明
我們首先考慮整數(shù)a，2a，3a，…-p – 1a。這些數(shù)都不等于p對其他數(shù)的模，也不等于0。如果這樣，那么有：
r a ≡ s a -mod p，1 ≤ r
那么，兩邊消去a將得到r≡s -mod p，這是不可能的，因為r和s都在1和p – 1之間。因此，前一組整數(shù)必須同余模p到1，2，…p – 1。把這些同余相乘，你會發(fā)現(xiàn)：
a 2a 3a … -p – 1 a ≡ 1 2 3 … -p – 1-mod p
意味著
a?? -p – 1! ≡ -p – 1!-mod p。
從這個表達式的兩邊消去-p – 1!，我們得到：
a?? ≡ 1 -mod p。
用群論證明
用群論證明費馬小定理，考慮到集合G ={1，2，…，p?1}用乘法運算形成一個群。在四個群公理中，唯一需要驗證的是第四個公理，即G中的元素是可逆的。想了解詳細 內(nèi)容可以看這篇文章：由淺入深，輕松理解抽象代數(shù)的重要分支——群論
如果我們假設(shè)G中的每個元素都是可逆的，假設(shè)a在1≤a≤p?1的范圍內(nèi)，也就是說，假設(shè)a是G的一個元素。設(shè)k是a的階數(shù)，即使a?≡1 -mod p為真時的最小正整數(shù)。然后數(shù)字1，a，a，…，a?? 約模p，形成G的一個序為k的子群，根據(jù)拉格朗日定理，k能整除G的階數(shù)，即p?1。對于正整數(shù)m，有p?1 = km，并且：
為了證明G與p互質(zhì)的每個元素b都是可逆的，這個恒等式可以幫助我們?nèi)缦隆Ｒ驗閎和p是素數(shù)，貝祖恒等式保證了有整數(shù)c和d使得bc + pd = 1。對p取模，這意味著c是b的逆，因為bc≡1-mod p。因為b是可逆的，所以G中的其他元素也是可逆的，所以G必須是一個群。
應(yīng)用，素性測試
費馬小定理將成為費馬質(zhì)數(shù)檢驗的基礎(chǔ)，這是一種確定一個數(shù)是否為質(zhì)數(shù)的概率方法。例如，如果我們想知道n = 19是否為素數(shù)，隨機取 1
大智網(wǎng)匯文章拓展問答：
費馬小定理的證明過程？費馬小定理證明過程 csdn？費馬大定理的證明過程？費馬定理的詳細證明過程是怎么的?？費馬大定理的內(nèi)容發(fā)現(xiàn)過程以及證明狀況？費馬小定理的證明方法？費馬小定理的證明？費馬小定理簡單證明？費馬小定理誰證明的？費馬大定理的一種證明方法？
